From a3180f9b6edafd59f82c7cc1289b5705877d8a9b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Sun Yimin <emmansun@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 22 Feb 2024 09:01:15 +0800
Subject: [PATCH] Updated SM2 MFMM (2) (markdown)

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 SM2-MFMM-(2).md | 18 +++++++++++++-----
 1 file changed, 13 insertions(+), 5 deletions(-)

diff --git a/SM2-MFMM-(2).md b/SM2-MFMM-(2).md
index 535c1e9..085de65 100644
--- a/SM2-MFMM-(2).md
+++ b/SM2-MFMM-(2).md
@@ -4,17 +4,25 @@ SM2 256 的素数P=0xfffffffeffffffffffffffffffffffffffffffff00000000fffffffffff
 
 $$P = 2^{256} - 2^{224} - 2^{96} + 2^{64} - 1$$  
 
+$$P = 0xFFFFFFFEFFFFFFF \ast 2^{192} + 0xFFFFFFFFFFFFFFFFF \ast 2^{128} + 0xFFFFFFFF00000000 \ast 2^{64} + 0xFFFFFFFFFFFFFFFFF$$  
+
 $$P = 2^{256}-(2^{32} \ast 2^{192} + 0 \ast 2^{128} + (2^{32} - 1) \ast 2^{64} + 1)$$  
 
-
 ## 平方的模约减优化
-### 方案一：(移位、加法、减法)
-假设：  
+假设 $T=a^2$ ：  
 $T=t_7 \ast 2^{448} + t_6 \ast 2^{384} + t_5 \ast 2^{320} + t_4 \ast 2^{256} + t_3 \ast 2^{192} + t_2 \ast 2^{128} + t_1 \ast 2^{64} + t_0 $  
-则共四次约减，第一次约减为：  
 
+则共四次约减，第一次约减为：  
 $T_1=t_0$  
 
+### 方案一：(乘法、加法)
+这个是最原始方法。  
+$T_2=T_1 \ast P=t_0 \ast P= (t_0 \ast 0xFFFFFFFEFFFFFFF) \ast 2^{192} + (t_0 \ast 0xFFFFFFFFFFFFFFFFF) \ast 2^{128} + (t_0 \ast 0xFFFFFFFF00000000) \ast 2^{64} + (t_0 \ast 0xFFFFFFFFFFFFFFFFF)$  
+$T_3=T + T_2=t_7 \ast 2^{448} + t_6 \ast 2^{384} + t_5 \ast 2^{320} + t_4 \ast 2^{256} + (t_3+t_0 \ast 0xFFFFFFFEFFFFFFF) \ast 2^{192} + (t_2+t_0 \ast 0xFFFFFFFFFFFFFFFFF) \ast 2^{128} + (t_1+t_0 \ast 0xFFFFFFFF00000000) \ast 2^{64} + t_0 \ast 2^{64} $  
+
+$t_1=t_1 + t_0 \ast 0xFFFFFFFF00000001$  
+
+### 方案二：(移位、加法、减法)
 $T_2=T_1 \ast P=t_0 \ast P= t_0 \ast (2^{256}-(2^{32} \ast 2^{192} + 0 \ast 2^{128} + (2^{32} - 1) \ast 2^{64} + 1))$  
 $T_2=t_0 \ast 2^{256} - t_0 \ast 2^{32} \ast 2^{192} - t_0 \ast (2^{32} - 1) \ast 2^{64} - t_0$  
 
@@ -34,4 +42,4 @@ $t_2=t_2 - a_1$
 $t_3=t_3 - a_0$  
 $t_0=t_0 - a_1$  
 
-### 方案二
+