From 87dfe96e8571759fec72c570b768f3db8aa18a0b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Sun Yimin <emmansun@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 23 Feb 2024 09:35:13 +0800
Subject: [PATCH] Updated SM2 MFMM (2) (markdown)

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 SM2-MFMM-(2).md | 24 ++++++++++++++----------
 1 file changed, 14 insertions(+), 10 deletions(-)

diff --git a/SM2-MFMM-(2).md b/SM2-MFMM-(2).md
index b6e8227..a6012dd 100644
--- a/SM2-MFMM-(2).md
+++ b/SM2-MFMM-(2).md
@@ -12,7 +12,7 @@ $$P = p_3 \ast 2^{192} + p_2 \ast 2^{128} + p_1 \ast 2^{64} + p_0$$
 
 $$P = 2^{256}-(2^{32} \ast 2^{192} + 0 \ast 2^{128} + (2^{32} - 1) \ast 2^{64} + 1)$$  
 
-## 平方的模约减优化
+## P域平方的模约减优化
 假设 $T=a^2$ ：  
 $T=t_7 \ast 2^{448} + t_6 \ast 2^{384} + t_5 \ast 2^{320} + t_4 \ast 2^{256} + t_3 \ast 2^{192} + t_2 \ast 2^{128} + t_1 \ast 2^{64} + t_0 $  
 
@@ -123,7 +123,7 @@ $t_0=t_0 - a_1$
 加法：4  
 减法：4  
   
-## 乘法的模约减优化
+## P域乘法的模约减优化
 乘法没有和平方一样，先把乘法做完再约减，而是乘法和约减混合在一起做的。  
 假设：  
 $X = x_3 \ast 2^{192} + x_2 \ast 2^{128} + x_1 \ast 2^{64} + x_0$  
@@ -271,6 +271,7 @@ $t_5=t_5 - 0$
 SM2的素数Order=0xFFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF7203DF6B21C6052B53BBF40939D54123
 
 $$O = O_3 \ast 2^{192} + O_2 \ast 2^{128} + O_1 \ast 2^{64} + O_0$$  
+$$O = 2^{192} - 2^{32} \ast 2^{192} - 2^{128} + O_1 \ast 2^{64} + O_0$$  
 
 $O_0=0xFFFFFFFEFFFFFFFF$  
 $O_1=0xFFFFFFFF00000000$  
@@ -300,9 +301,9 @@ $Y=T_1 \ast k_0$
 
 ### 方案一：(乘法、加法)
 这个方案和P域的方案类似。  
-$T_2=T_1 \ast P=Y \ast P= (Y \ast p_3) \ast 2^{192} + (Y \ast p_2) \ast 2^{128} + (Y \ast p_1) \ast 2^{64} + (Y \ast p_0)$  
+$T_2=T_1 \ast O=Y \ast O= (Y \ast O_3) \ast 2^{192} + (Y \ast O_2) \ast 2^{128} + (Y \ast O_1) \ast 2^{64} + (Y \ast O_0)$  
 
-$T_3=T + T_2=t_7 \ast 2^{448} + t_6 \ast 2^{384} + t_5 \ast 2^{320} + t_4 \ast 2^{256} + (t_3+Y \ast p_3) \ast 2^{192} + (t_2+Y \ast p_2) \ast 2^{128} + (t_1+Y \ast p_1) \ast 2^{64} + t_0 + Y \ast p_0 $  
+$T_3=T + T_2=t_7 \ast 2^{448} + t_6 \ast 2^{384} + t_5 \ast 2^{320} + t_4 \ast 2^{256} + (t_3+Y \ast O_3) \ast 2^{192} + (t_2+Y \ast O_2) \ast 2^{128} + (t_1+Y \ast O_1) \ast 2^{64} + t_0 + Y \ast O_0 $  
 
 共四次约减，结果表示为 $[t_3,t_2,t_1,t_0]$   
 （下面没有表示出高64位和进位处理）  
@@ -470,14 +471,14 @@ $T=(y_0 \ast x_3 \ast 2^{192}) + (y_0 \ast x_2 \ast 2^{128}) + (y_0 \ast x_1 \as
 $=t_4 \ast 2^{256} + t_3 \ast 2^{192} + t_2 \ast 2^{128} + t_1 \ast 2^{64} + t_0$  
 
 ### 方案一：(乘法、加法)
-$T_2=T_1 \ast P=Y \ast P= (Y \ast p_3) \ast 2^{192} + (Y \ast p_2) \ast 2^{128} + (Y \ast p_1) \ast 2^{64} + (Y \ast p_0)$  
-$T_3=T + T_2=t_4 \ast 2^{256} + (t_3+Y \ast p_3) \ast 2^{192} + (t_2+Y \ast p_2) \ast 2^{128} + (t_1+Y \ast p_1) \ast 2^{64} + t_0 + Y \ast p_0 $  
+$T_2=T_1 \ast O=Y \ast O= (Y \ast O_3) \ast 2^{192} + (Y \ast O_2) \ast 2^{128} + (Y \ast O_1) \ast 2^{64} + (Y \ast O_0)$  
+$T_3=T + T_2=t_4 \ast 2^{256} + (t_3+Y \ast O_3) \ast 2^{192} + (t_2+Y \ast O_2) \ast 2^{128} + (t_1+Y \ast O_1) \ast 2^{64} + t_0 + Y \ast O_0 $  
 
 （下面没有表示出高64位和进位处理）  
-$t_0=t_0 + Y \ast p_0$    
-$t_1=t_1 + Y \ast p_1$  
-$t_2=t_2 + Y \ast p_2$  
-$t_3=t_3 + Y \ast p_3$  
+$t_0=t_0 + Y \ast O_0$    
+$t_1=t_1 + Y \ast O_1$  
+$t_2=t_2 + Y \ast O_2$  
+$t_3=t_3 + Y \ast O_3$  
 $t_4=t_4 + 0$  
 $t_5=0 + 0$  
 
@@ -547,3 +548,6 @@ $t_5=0 + 0$
 ```
 乘法: 5  
 加法：10  
+
+### 方案二：(移位、加法、减法)
+